iron．snow．ball

今天去圖書館借書，在我想借的書旁邊看到一本叫做「數學家的心靈」的書，書名很吸引人，就順便借了回來。下午等待實驗結果之餘，看了這本書的序，寫序的人盛讚這本書的作者賈桂斯．哈達馬得 ( Jacques Hadamard ) 對數學的貢獻，就上網查了一下，哈達馬得何許人也。一查之下，才發現他就是鼎鼎大名的「質數定理 (Prime number theorem) 」的證明者，而「數學家的心靈」也是一本開認知科學先趨的書。書還沒讀完，沒辦法分享，不過和哈達馬得先生這麼有緣，來介紹一下他到底證明了什麼。

大家還記得質數是什麼嗎？就是除了 1 和自己以外，不能被分解成別的數連乘的數。例如 31 是質數，但是 33 = 3*11 就不是質數。

小時候學質數，阿雪認為一定沒有很大很大的質數，因為一個數要是是質數就不能被任何比它小的數分解，那麼越大的數字，比它小的數就越多，要找到能分解它的數不就越來越容易，這就和越有錢的男人單身的機率就越靠近零一樣的道理嘛。由此可知，鐵頭沒有做數學家的天分。

很早以前，數學家就發現了質數的數目是不斷增加的，而且增加的方法有一定的規律。比較容易理解的例如1845年 柏萃德假說 (Bertrand's postulate) ，說每個大於 1 的數 n 與它的兩倍之間必有質數，換句話說，我們隨便找一個很大的數 358,022,361,920，從 358,022,361,920 到它的兩倍 716,044,723,840 之間一定有質數。

比較高深的就是哈達馬得在1896年證明的質數定理， π(x) 指的是從 1 到 x 的質數數目




這個式子講的是質數在某個很大的數值 N 附近出現的機率是 1/ln(N), 例如 358,022,361,920 這個數附近的數，出現質數的機率約是 0.0376，欸，就是它附近的 100 個數有 3.76 個質數，這個比例是不是比你想像的要高出許多呢？

不過哈達馬得的證明並不是憑空得來的，更早之前，數學家雷曼 (Riemann) 在1859的研究報告 On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude 建議了一個全新的方法，哈達馬得和另一個數學家 de la Vallée Poussin 都根據雷曼的方法，在同一年分別證明了質數定理呢！由此可知不只是明星才會撞衫，科學家也會撞 idea 喔！

但是我們知道這世界上質數比我們想像得多有什麼用呢？啊，心虛，我也只知道一個應用，就是密碼學裡的 RSA 演算法，別小看這個演算法喔，大家應該常常用到要加密的網路，就是開頭不是 http:// 而是 https:// 的那種，每次你開啟這樣的網頁，RSA 演算法就在默默的保護著你呢。


ps: 搜尋了一下相關的中文資料，發現台灣有出版 質數魔力（上、下），不知道內容如何，有人讀過嗎？

ps2: 如果你對數學真的很有興趣，可以看這篇「漫談質數」。

ps3: 「數學家的心靈」這本書全名是：The Mathematician's Mind -- The Psychology of Invention in the Mathematical Field